BAĞINTI ve FONKSİYONLAR
Kartezyen çarpım : İlk elemanı birinci kümeden , ikinci elemanı ikinci kümeden gelen ikililerin oluşturduğu kümeye denir.
Örnek 1: A = {1,2,3} ve B = {a,b} ise
AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} olur.
BxA = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)} şeklinde yazılır.
Örnekte görüldüğü gibi
( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur ).
Yine örnekte görüldüğü gibi A kümesinin 3 , B kümesinin 2 elemanı vardır. AxB kümesinin eleman sayısı ise 6 ‘dır. Böyle olması tesadüf değildir.
Çünkü kartezyen çarpım kümesinin eleman sayısı ; kartezyen çarpımı oluşturan kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir.
Aynı sebeple BxA kümesinin eleman sayısı da 6 ‘dır. Yani kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği olmamasına karşılık her kümenin eleman sayıları eşittir ( Denk kümeler ).
( kartezyen çarpım işleminde değişme özelliği yoktur )
s(AxB) = s(BxA) = s(A) s(B) ( Denk kümeler )
Bağıntı : Kartezyen çarpım kümesinin herhangi bir alt kümesine denir. Eğer bağıntı, AxB ‘nin alt kümesi ise o bağıntıya A’dan B’ye bir bağıntı denir. Buradaki birinci küme, bağıntının tanım kümesi ; ikinci küme ise bağıntının değer kümesi olarak adlandırılır.
“n” elemanlı bir kümenin tüm bağıntılarının sayısı 2n olduğundan dolayı A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 2s(A)s(B) ‘ dir.
Örnek 2: s(A) = 5 ve s(B) = 4 ise A’dan B’ye yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı 220 olur. Tabii ki aynı şekilde B’den A’ya yazılabilecek tüm bağıntıların sayısı da 220 ‘dir.
Örnek 3 : A = {1,2,3} ve B = {1,2,a,b} olmak üzere A’dan B’ye bir bağıntı tanımlayalım :
={(1,1),(2,1),(2,2),(3,a) } ise grafik ile gösterimi şöyle olur :
: A B olmak üzere tanımlanmış bağıntının tanım kümesi A,
değer kümesi B, görüntü kümesi ise C ‘dir.
NOT : : A B ( A’dan B’ye bir bağıntıdır diye okunur)
C = (A) = { (1), (2), (3)} = {1,2,a} kümesine görüntü kümesi denir ve her zaman değer kümesi ile aynı anlama gelmeyebilir.
Örnek 4 : s(A) = 4 olduğuna göre A’ dan A’ya yazılabilecek bağıntıların kaç tanesi 3 elemanlıdır ?
Çözüm : s(AxA) = 16 olduğundan ve 16 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı
olur.
Örnek 5 : A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan
={(a,a),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d)} bağıntısını grafik ile gösteriniz :
Çözüm :
Bağıntıların özellikleri :
1. Yansıma özelliği : Bir A kümesi üzerinde tanımlanan bağıntı , A kümesinin tüm elemanları için yazılabilecek (x,x) ikililerini içeriyorsa yansıyandır.
2. Simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içeriyorsa simetriktir.
3. Ters simetri özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini içerirken aynı anda (y,x) ikilisini de içermiyorsa ters simetriktir.
4. Geçişme özelliği : Bir bağıntı, (x,y) ikilisini ve (y,z) ikilisini içerirken aynı anda (x,z) ikilisini de içeriyorsa geçişkendir.
Bağıntı çeşitleri :
1. Denklik bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya denklik bağıntısı denir.
2. Sıralama bağıntısı : Bir bağıntı ; yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerine sahipse o bağıntıya sıralama bağıntısı denir.
Örnek 6: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(1,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan,
(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içermediğinden ters simetrik,
(1,1) ve (1,2) varken (1,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir.
Bu 3 özelliğin sonucu olarak da sıralama bağıntısıdır.
Örnek 7: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
A kümesinin tüm elemanları için (x,x) ikililerini içerdiği için yansıyan,
(1,2) ikilisinin tersi olan (2,1) ikilisini içerdiğinden simetrik,
(2,1) ve (1,2) varken (1,1) ve (2,2) ikilisini de olduğundan geçişkendir.
Bu 3 özelliğin sonucu olarak da denklik bağıntısıdır.
Örnek 8: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm : Yansıyan, simetrik, ters simetrik ve geçişkendir.
Tüm özellikleri sağlamasının sonucu olarak da hem denklik hem de sıralama bağıntısıdır.
Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olabilir.
Örnek 9: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(1,3),(4,4)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
(3,3) ikilisini içermediği için yansıyan değil ;
(1,3) ikilisinin tersi olmadığı için simetrik değil ;
aynı anda hem (1,2) hem de (2,1) ikililerini içerdiği için ters simetrik değil ; (2,1) ve (1,3) varken (2,3) olmadığından dolayı da geçişken değildir.
Bir bağıntı aynı anda hem simetrik hem de ters simetrik olmayabilir.
Örnek 10: A = {1,2,3,4} kümesi üzerinde tanımlanan
= {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} bağıntısının özelliklerini inceleyelim :
Çözüm :
(3,3) ve (4,4) ikililerini içermediği için yansıyan değil ;fakat simetrik ve geçişkendir.
: A ® A ve s(A) = n olmak üzere
Tanımlanabilen bağıntı sayısı ;
Tanımlanabilen yansıyan bağıntı sayısı ;
Tanımlanabilen simetrik bağıntı sayısı ‘ dir.
BURAYA
Fonksiyon :
Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak:
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için :
1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ;
2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir.
|
|
f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2
elemanının 1’den fazla değeri olduğu
için fonksiyon değildir.
|
|
|
Tanım kümesinde açıkta eleman
kaldığı için fonksiyon değildir.
f(2) = tanımsız.
|
|
|
Her iki şartı da sağladığı için
fonksiyondur.
|
A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A) ile hesaplanır.
A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A B şeklinde gösterilebilir.
x A ve y B olmak üzere f : x y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir.
Örnek 11: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun :
Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir.
Örnek 12: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre y = f(x) = x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema yöntemiyle gösterin :
Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım :
f (1) = 3 ; f(2) = 4 ; f(3) = 5 olduğundan
f (A) = {3,4,5} olur.
Venn şeması ile gösterimi ise şöyledir :
Örnek 13: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduğuna göre y = f(x) = x2+1 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve grafik yöntemiyle gösterelim:
Çözüm : f(-1) = 2 ;
f (0) = 1 ;
f( 1) = 2 ;
f( 2) = 5 olduğuna göre :
f(A) = {1,2,5} olur.
Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise şöyledir :
Örnek 14 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :
Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen değerlerini almak gerekir.
Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 }
Değer kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 }
Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }
Örnek 15 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :
Çözüm : Tanım kümesi = [-1,7] ;
Değer kümesi = [-5,8] ;
Görüntü kümesi = [-5,8] .
Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt kümesi olabilir.
Örnek 16 : Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan
bağıntı fonksiyon mudur ?
Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın iki şartını da sağlıyor.
Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.
Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada kestiği için bir fonksiyondur.
Örnek 17: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur ?
Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (- ,-4) aralığındaki değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir. Aynı zamanda [-4, ) aralığındaki değerlerinin de birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için yeterlidir.
Diğer yaklaşım ile düşünüldüğünde (- ,-4) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği kesmiyor ki en az bir noktada kesmesi gerekirdi. Öte yandan [-4, ) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği iki noktada kesiyor ki en fazla bir noktada kesmesi gerekirdi.
Fonksiyon Türleri :
İçine fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok ) ise bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 18 :
Örten fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var ) ise bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 19 :
Bire-bir (1-1) fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 20 :
Sabit fonksiyon : Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 21 :
Birim fonksiyon : Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
Örnek 22:
Örnek 23 : Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1-1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur.
Örnek 24: Aşağıdaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : Görüntü kümesinin (- ,-4) arasındaki değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı için içine fonksiyondur.
x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa içine fonksiyondur.
Örnek 25: Aşağıdaki f : R [-4, ) ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur.
Örnek 26: Aşağıdaki f : R R ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.
Örnek 27 : Aşağıdaki f : R R ne tür bir fonksiyondur ?
Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep aynı olduğundan sabit fonksiyondur.
Örnek 28 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ?
Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 değildir. Bu nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1-1 ‘ dir.
s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere :
1. A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ;
2. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ;
3. A’dan B’ye tanımlanan 1-1 fonksiyon sayısı P(b,a).
Örnek 29 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ?
Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43 olduğundan dolayı s(A) = 3’tür.
Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da
olur.
Örnek 30 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane yansıyan bağıntı tanımlanabilir ?
Çözüm : 27 = 33 olduğuna göre s(A) = 3 ‘ tür.
Yansıyan bağıntı sayısı ise 29-3 = 26 = 64 olur.
Örnek 31 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ?
Çözüm : olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon sayısı 6 olur.
Permütasyon fonksiyonu : Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon fonksiyonu denir.
Örnek 32 :
s(A) = a olmak üzere :
A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı a ! ‘ dir.
Örnek 33 : A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre 1-1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı kaç tanedir ?
Çözüm : 24 = 4! olduğundan s(A) =4 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 44 = 256 olur.
Bunların da 24 tanesi 1-1 ve örten olduğundan
geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve örten değildir.
Örnek 35 : A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre A kümesi üzerinde tanımlanabilen bağıntıların kaç tanesi yansıyan değildir ?
Çözüm : 6 = 3! olduğundan s(A) = 3 ‘ tür.
Dolayısıyla toplam bağıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi yansıyandır. Geriye kalan 29 - 26 =512-64 tanesi yansıyan değildir.
Örnek 35 : Aşağıda grafiği verilen f : A B fonksiyonunu permütasyon fonksiyonu formunda yazalım .
Çözüm : f (1) = 3 ;
f (2) = 1 ;
f (3) = 2 olduğundan f fonksiyonu
şeklinde yazılabilir.
Tek ve çift fonksiyonlar :
Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ;
f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle
başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ;
y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.
Örnek 36: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3
= -sinx -3x +x3
= -(sinx +3x -x3)
= -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.
Örnek 37: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x)
= x2 + 4 -cosx
= f(x) olduğundan çift fonksiyondur.
Örnek 38: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3
= x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.
Örnek 39: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ?
Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0
olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir.
Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni
hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir.
Örnek 40: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur.
Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur.
Periyodik fonksiyonlar :
Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir.
Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir.
Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda
f(x+t) = f(x) ==> ( x+t ) - x = t olur.
Örnek 41: f (x) = g ( 2x+3 ) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır.
Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve
( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır
( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5 )
buradan t = 5/2 bulunur.
f (x) fonksiyonunun periyodu t ise
f (ax+b) fonksiyonunun periyodu olur.
Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre
g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik.
f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2 ) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.
Örnek 42 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3,
g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise
h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.
Trigonometrik fonksiyonlardan
sin x ve cos x fonksiyonlarının periyotları 2 ;
tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotları ise ‘dir.
Örnek 43 : f (x) = cos(2x-3) + sin (4x-5) ise f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos(2x-3) fonksiyonunun periyodu ve
sin (4x-5) fonksiyonunun periyodu olduğundan
f (x) fonksiyonunun periyodu ikisinin OKEK’i olan ‘ dir.
Örnek 44 : f (x) = 6sin5xcos3x -5 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : Ters dönüşüm formullerinden yararlanarak buluruz.
Dolayısıyla f (x) = 3sin 8x +3sin 2x -5 olacağından ;
sin 8x fonksiyonunun periyodu ve
sin 2x fonksiyonunun periyodu ise olur.
f (x) fonksiyonunun periyodu da OKEK ( olur.
Örnek 45 : f(x) = 3sin25x +2 fonksiyonunun periyodu nedir ?
Çözüm : cos 2x = 1-2sin2x olduğundan
olur.
Bu nedenle olur.
f(x) fonksiyonu da
olacağından periyodu da bulunur.
Sinkax ve coskax fonksiyonlarının periyotları k sayısı çift ise ,
k sayısı tek ise ;
tankax ve cotkax fonksiyonlarının periyotları
k sayısı ne olursa olsun ‘dır.
Buna göre aynı soru k =2 olduğundan bu bilgileri kullanarak ’ dir de diyebiliriz .
Fonksiyonların toplamı,farkı, çarpımı,bölümü :
f (x) ve g (x) fonksiyonları için
h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ;
h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ;
h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ;
h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir.
Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan
birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi
f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.
Örnek 46 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = {-1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {-1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz.
Çözüm : Tanım kümesi = A B = {-1,2,3} olur.
h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan
h (-1) = -3
h ( 2) = 12
h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde bulunur.
Örnek 47 : f : A B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve
g : C D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre
h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz .
Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir.
h (1) = 5f (1) = 10 ;
h (2) = 5f (2) = 15 ;
h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.
şeklinde ifade edilebilen denklemlere
2. dereceden 1 bilinmiyenli denklem denir.
Denklemi çözmek için
bağıntısının bilinmesi gereklidir.
Buradaki (diskriminant) ifadesi ise
bağıntısı ile bulunur.
Örnek: denklemini çözelim.
olduğundan
bulunur.
olacağından
ve bulunur.
Örnek: denklemini çözelim:
Diskriminant negatif sayı çıktığından ve de negatif sayıların gerçek kökleri olmadığından çözüm burada tıkanacaktır.
Daha sonra karmaşık sayılar konusunda bu soruya dönülecektir.
Örnek: denklemini çözelim:
yani olur.
Not: Çünkü bir denklemin diskriminantı “0” olduğunda çakışık(iki kat) kökleri var demektir.
Kökler Arasındaki Bağıntılar
ve olduğunu varsayalım.
Kökler toplamı:
bulunur.
Kökler çarpımı:
bulunur.
Köklerin tersleri toplamı:
bulunur
Köklerin tersleri çarpımı:
bulunur
Köklerin kareleri toplamı:
bulunur.
Köklerin küpleri toplamı:
bulunur.
Kökleri bilinen 2. derece denklemin kurulması
denklemi düzenlendiğinde
olarak yazılabilir.
Örnek: Kökleri 2/3 ve -3/4 olan ikinci derece denklemi kuralım:
ve olduğundan
ve
Bu değerler bağıntıdaki yerine konursa
bulunur.
ifadelerine bakarak kökler hakkında yorumlar yapmak mümkündür.
|
|
Gerçek kök yok
|
|
|
Katlı kök
|
|
|
Farklı gerçek kök
|
|
|
|
|
|
Kökler zıt işaretli
|
|
|
En az bir kök “0”
|
|
|
Kökler aynı işaretli
|
|
|
|
|
|
Mutlak değerce büyük olan kök negatif
|
|
|
Kökler mutlak değerce eşit ve zıt işaretli
|
|
|
Mutlak değerce büyük olan kök pozitif
|
|
Gerçek kök yok
|
|
Katlı kök
|
|
Farklı gerçek kök
|
|
|
Kökler aynı işaretli
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
LOGARİTMA:
Logaritma fonksiyonu üstel fonksiyonun tersi olduğu için :
yazılabilir.
Burada a ve c sayıları pozitif gerçel sayılar olmak zorundadır,
çünkü negatif sayıların logaritması tanımsızdır.
Herhangi bir tabana göre tanımlanmış logaritmik ifadeyi
diğer bir tabana değiştirmek istersek :
Taban yazılmadığı zaman taban 10 alınır :
Doğal logaritmanın kendine has bir gösterimi vardır :
lnx=logex
Örnek:
Üslü sayıların logaritmasında üs başa gelir:
logan=n.loga
Çarpımın logaritması, logaritmaların toplamına eşittir :
Log(a.b)= loga+logb
Bölümün logaritması, logaritmaların farkına eşittir :
Örnek:
bulunur.
Örnek: log2=a ve log3=b olduğuna göre log2412=?
bulunur.
Örnek: log2=a ve log3=b olduğuna göre log7218=?
bulunur.
Örnek: log2=a ise log825=?
bulunur.
Örnek:
ifadesini tek logaritma şeklinde yazalım
bulunur
Örnek: log63=a ise log212=?
veya :
bulunur.
Örnek: log26=a ise log1224=?
olarak bulunur.
Örnek:
ise ab=?
log a = - 9log b
log a = log b-9
a=b-9 olduğundan
a.b= b-9.b =b8 olur
Örnek: log2(log25x)=1 ise x=?
log2(log25x)=1 log25x=(2)1
x=(25)2
x=625 olur .
Örnek: log7(log3(lnx))=0 ise x=?
log7(log3(lnx))=0 log3(lnx)=70=1
lnx=31=3
x=e3 bulunur
Örnek: f(x)=log5x ve f—1(a+1)=25 ise a=?
f—1(a+1)=25 f(25)=a+1
log525=a+1
log552=a+1
2=a+1
a=1 bulunur.
log2 = 0,30103
ifadesindeki ondalık kesrin tamsayı kısmına sayının karakteristiği,
ondalık kısmına mantisi denir.
Log2 = 0,30103 olduğundan;
Log20 = log(10.2)= log10+log2=1+0,30103 =1,30103
Log200 = log(102.2)=2log10+log2= 2+0,30103=2,30103
Log2000 = log(103.2)=3log10+log2=3+0,30103=3,30103 olur.
Dikkat edilirse karakteristiğin değeri, basamak sayısının “1” eksiğidir.
Buradan yola çıkarak çok büyük sayıların kaç basamaklı olduğu
bulunabilir.
Örnek: log2=0,30103 ise 260 kaç basamaklıdır?
log260=60log2
log260= 60(0,30103)
log260=18,0618 olduğundan
260 sayısı 19 basamaklıdır diyebiliriz.
log2= 0,30103
log(0,2) = log(10-1.2) = -log10+log2 =-1+0,30103
=
Mantis negatif olamayacağı için negatifliğin sadece karakteristiğe
ait olduğunu belirtmek için (-) işareti karakteristiğin üstüne yazılır.
log(0,2) = log(10-1.2) = -log10+log2 =-1+0,30103
=
log(0,02) = log(10-2.2)= -2+0,30103
=
log(0,002) = log(10-3.2)= -3+0,30103
=
(0,1) aralığındaki sayıların logaritma değerindeki karakteristik,
sıfırların adedini (dolayısıyla sayının kaç ondalıklı olduğunu) belirtir.
Örnek: logx= ise logx5=?
Logx= logx=-1+0,3
logx= -0,7 olur.
Logx5= 5logx
Logx5= 5(-0,7)
Logx5= -3,5
Logx5= -3,5+4-4
Logx5= -4+0,5
Logx5= olur
Örnek: logx=
logx= logx= -2 +0,4
logx=-1,6 olur
= -0,8
= -0,8+1-1
= -1+0,2
olarak bulunur.
OLDUD
