KÜMELER

 

 

 

 

 

A=ía,b,cý                            s(A)=3

 

.a         .b        .c

Alfabenin ilk 3 harfi

 

Boş Küme: Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

 

Æ            veya        í ý        şeklinde gösterilir.

 

 

SÌNÌZÌQ                                                 QÈI=R

 

Sonlu Küme: Elemanları sayılabilen kümelerdir.

Sonsuz Küme: Elemanları sayılamayan kümelerdir.

Alt Küme:Bir A kümesinin her bir elemanı bir B kümesinin de elemanı ise A, B’ nin alt kümesidir.

 

                   A Ì B                             B kapsar A

                       ¯                                                  A, B’ nin alt kümesidir.

                       Kapsar

Alt Küme Sayısı: n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2^n’ dir.

Özalt Küme: Bir A kümesinin alt kümelerinden kendisinin çıkarılmasıyla oluşan kümelere denir.

 

         n elemanlı bir kümenin özalt kümelerinin sayısı 2ⁿ –1’ dir.

 

ALT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ

1.       Bir A kümesi için Æ Ì A’ dır.       Þ         Boş küme her kümenin alt kümesidir.

2.     Bir A kümesi için  A Ì A’ dır       Þ         Her küme kendisinin alt kümesidir.

3.     A Ì B  ve  B Ì A                    Û      A = B

4.     A Ì B  ve  B Ì C                    Û      A Ì C

 

í Æ ý     Þ     Æ,    í Æ ý

   Æ        Þ     Æ

 

 

 

 

Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılabilen kümeleri kapsayan kümeye denir.    “ E ” harfi ile gösterilir.

Tümleme: Bir E evrensel kümesi verilsin. E içinde bir A kümesi olsun. E’ nin içinde olup

A’ nın dışında kalan elemanların kümesine A’ nın tümleyeni denir ve A¢ ile gösterilir.

A

                            E

                                                          A¢

s(A) + s(A¢) = s(E)

 

TÜMLEMENİN ÖZELLİKLERİ

1.       ( A¢ )¢ =  A                                    5.   AÈE   =   E

2.     E¢       =  Æ                                             6.   AÇA¢  =  Æ

3.     Æ¢      =  E                                    7.   AÈA¢  =   E     

4.     AÇE  =  A                                     8.   AÌB   Þ  B¢ÌA¢

 

Denk Küme: Eleman sayıları aynı olan kümelere denk küme denir.

Eşit Küme: Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir.

Ayrık Küme: Ortak elemanı olmayan kümelere denir.

 

BİRLEŞİM İŞLEMİ

         İki kümenin birleşim işlemi bütün elemanların bir küme içinde belirtilmesi ile oluşur. Aynı elemanlar iki kere tekrarlanmaz.

ÖZELLİKLER

1.       A È A  =   A (Tek kuvvet özelliği)

2.     A È B  =   B È A ( Değişme özelliği)

3.     A È ( B È C)  =  ( A È B ) È C  (Birleşme özelliği)

4.     A È Æ  = Æ È A  =  A  (Etkisiz eleman Æ)

5.     A Ì B  Þ  A È B = B’ dir

6.     A È B  =  Æ      Û    A = Æ ve  B = Æ

7.     A ile B ayrık kümeler ise s( A È B ) = s( A ) + s( B )

8.     A ile B ayrık kümeler değil ise s( A È B ) = s( A ) + s( B ) – s( A Ç B )

KESİŞİM İŞLEMİ

         İki kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir.

ÖZELLİKLER

 

1-)A∩A=A

2-)A∩B=B∩A

3-)A∩(B∩C)=(A∩C)∩C

4-)A∩ø=ø∩A=ø (YUTAN ELEMAN ø DİR)

5-)AÌBÞA∩B=A

6-)A∩B =øÞA=ø VEYA B=ø VEYA A İLE B AYRIKTIR.

 

 

DAĞILMA ÖZELLİĞİ

1-)A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)

 

***(A∩B)U(A∩B’)=A∩(BUB’)

                   E

               =A∩E

                           =A

2-)AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)

3-) DE MORGAN KURALI

 

a)(AUB)’=A’∩B’

b)(A∩^B)’=A’UB’

 

 

FARK İŞLEMİ

Tanım:A veB kümeleri verilsin .a’nın elemanı olup b’nin elemanı olmayan elemanların kümesine a fark b kümesi denir ve A-Bveya ab ile gösterilir.

                  A-B    A∩B    B-A

SONUÇ:

1-)S(AUB)=s(AUB) +S(A∩B) +S(B-A)

2-)A-B=A∩B’

Fark İşleminin Özellikleri:

1-)A-A=ø

2-)Ø-A=ø

3-)A-ø=A

4-)A-B¹B-A

5-)E-A=A’

 

3 KÜMENİN BİRLEŞİM KÜMESİNİN BULUNMASI

 

 

s(AUBUC)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A∩B)-s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)